Cara mengetahui apakah ada batasan dalam grafik suatu fungsi

Batas fungsi nyata mempelajari perilaku yang dimiliki gambar fungsi f (x) ketika variabel " x " mendekati nilai " c ", yaitu " x " mendekati " c ". ”Gambar f (x) mendekati“ L ”, di mana“ L ”adalah batasnya.

Ekuatio.com mendefinisikan batas matematika dengan cara sederhana ketika berpendapat bahwa batasnya adalah untuk menentukan nilai yang mendekati suatu fungsi ketika "x" cenderung ke titik "c" tetapi tanpa mencapai (menyentuh) titik itu.

Secara simbolis batas dalam matematika ditulis fx = L.

Ekspresi fx = L berbunyi sebagai berikut:

Batas fungsi f ketika " x " cenderung "c" sama dengan L. Ketika kita mengatakan bahwa "x" cenderung "c", batas lateral dipelajari secara intrinsik (di kanan atau di kiri).

Dengan cara ini batas di sebelah kanan ditulis secara simbolis seperti ini: fx dan mempelajari perilaku gambar fungsi f (x) untuk nilai " x " dekat "c" di sebelah kanan.

Sementara batas di sebelah kiri ditulis secara simbolis sehingga fx dan mempelajari perilaku gambar f (x) untuk nilai "x" dekat "c" di sebelah kiri.

Ketika mempelajari batas - batas fungsi di sisinya, ditentukan bahwa batas itu ada dan unik.

Kami mempelajari definisi batas dalam grafik fungsi dan konsep matematika terkait lainnya.

Jangan berhenti membaca: Bagaimana matematika terlibat dalam desain video game?

Definisi batas dalam istilah epsilon-delta (ɛ-δ)

Matematikawan Jerman Karl Weierstrass (1815-1897), mengusulkan definisi batas matematika dalam hal ɛ-thus, dengan demikian:

Jika dimungkinkan untuk menentukan dimensi δ sedemikian rupa sehingga untuk setiap nilai h, lebih kecil dalam nilai absolut dari δ, f (x + h) - f (x) lebih kecil dari jumlah sekecil ɛ yang diinginkan, maka akan dikatakan yang telah dibuat agar sesuai dengan variasi kecil yang tak terhingga dari variabel variasi kecil yang tak terhingga dari fungsi ”.

Baik Augustin Cauchy dan Weierstrass mendedikasikan sebagian besar meditasi mereka untuk menempatkan gagasan itu pada dasar yang logis dan dengan demikian memberikannya beberapa "akurasi logis, " terlepas dari semua intuisi geometris.

Definisi batas yang ketat ini adalah sebagai berikut: Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan dalam interval terbuka yang berisi "c" (kecuali mungkin dalam c) dan L bilangan real. Penegasan:

fx = L

Artinya: untuk semua ɛ> 0, ada δ> 0 sedemikian rupa sehingga, jika 0 <| xc | <δ maka | f (x) -L | <ɛ. Secara grafis, definisi batas dalam hal epsilon-delta ditampilkan sebagai berikut:

Definisi batas dalam istilah epsilon-delta (ɛ-δ) digunakan untuk demonstrasi dalam mata pelajaran perhitungan (sangat kecil) dan analisis matematika.

Hari ini disebut definisi formal batas, dasar utama untuk konsep kontinuitas, turunan dan integral dari fungsi nyata .

Anda mungkin tertarik: Mendefinisikan fungsi matematika untuk Excel

Prosedur untuk menemukan nilai batas

Selanjutnya, kami akan menjelaskan tiga prosedur dasar untuk menemukan nilai batas .

Nilai batas dalam matematika (dengan prosedur numerik)

Gagasan numerik tentang batas dalam matematika adalah karena ahli matematika Prancis Augustin Louis Cauchy (1789-1857), didefinisikan sebagai berikut:

"Ketika nilai berturut-turut dikaitkan dengan pendekatan variabel yang sama tanpa batas nilai tetap, sehingga mereka menjadi sedikit berbeda dari yang Anda inginkan, yang terakhir disebut batas semua yang lain."

Untuk pemahaman yang lebih baik, kami akan memperkirakan melalui latihan tertentu nilai batas 3x + 5 menggunakan prosedur numerik .

Batasi nilai prosedur numerik contoh:

Dengan angka, kita akan menemukan batas f (x) = 3x + 5 ketika "x" cenderung ke 1.

Untuk ini, sebuah tabel dibuat dengan mengambil tiga nilai mendekati kiri x = 1 (0, 9; 0, 99 dan 0, 999).

Kemudian gambar "f (x)" ditemukan di masing-masing titik (f (0, 9); f (0, 99); f (0, 999)) dan diamati bahwa nilai-nilai gambar dekat dengan 8.

Dengan cara yang sama, sebuah tabel disusun dengan mengambil tiga nilai mendekati hak x = 1 (1, 001; 1, 01; 1, 1).

Selanjutnya, gambar "f (x)" ditemukan di setiap titik (f (1, 001); f (1, 01); f (1, 1)) dan diamati bahwa nilai-nilai gambar juga dekat dengan 8.

Dengan proses ini perilaku numerik dari batas dipelajari dan disimpulkan bahwa ketika "x" mendekati 1 di kiri atau di kanan, gambar f (x) mendekati sewenang-wenang ke 8. Oleh karena itu, 3x +5 ada dan nilainya 8.

Tabel yang diperoleh adalah sebagai berikut:

Temukan nilai batas oleh grafik

Untuk berbicara tentang konsep batas dalam matematika dalam gagasan geometris intuitif (cara grafis) kembali ke kontribusi Newton dan Leibniz pada abad ke-17 dan ke-18 pada metode kuotasi diferensial dan fluks.

Meskipun gagasan ini tidak terlalu tepat untuk saat-saat itu adalah itu yang ditangani hari ini ketika mempelajari batas fungsi f (x) di sekitar titik "c", yaitu, fx = L. Secara grafis kita dapat memvisualisasikannya seperti ini:

Penting untuk menjelaskan bahwa f (c) mempelajari perilaku fungsi f pada nilai "c", sementara fx mempelajari perilaku fungsi di sekitar nilai "c". Dengan cara ini batas dipelajari di sekitar titik bukan di titik.

Untuk pemahaman yang lebih baik, kami akan memperkirakan nilai batas 3x + 5 menggunakan prosedur grafik melalui latihan berikut.

Anda mungkin tertarik: Bagaimana cara menghitung root dengan MATLAB?

Batas dalam grafik suatu fungsi

Tujuan utama pertama adalah untuk membuat grafik fungsi f (x) = 3x + 5. Karena ini adalah fungsi linier atau polinomial tingkat pertama, cukuplah untuk menemukan dua titik dan membuat grafik garis.

Untuk melakukan ini, kita akan mengambil titik persimpangan (x = 0, y = 0) memperoleh (0, f (0) = 5) dan (x = -5 / 3, 0).

Grafik f (x) yang terkait adalah sebagai berikut:

Kemudian, setelah mendapatkan grafik fungsi f (x) = 3x + 5, kita mempelajari perilaku gambar "f (x)" sekitar x = 1, yaitu, 3x + 5.

Kita dapat mengamati bagaimana gambar "f (x)" di sekitar x = 1 mendekati 8, tidak menunjukkan lompatan atau pertumbuhan atau menurun menuju tak terhingga atau kurang tak terhingga.

Oleh karena itu, kami mengatakan bahwa batas lateral di sebelah kanan, seperti di sebelah kiri, mendekati 8 dan ditentukan bahwa batas itu ada dan unik .

Anda mungkin tertarik: Bagaimana cara menghitung nilai slope dari regresi kuadrat minimum di Excel?

Batas satu fungsi per prosedur analitik

Untuk mengatasi jenis prosedur ini dan memperkirakan nilai batas, sifat dasar batas berikut ini pertama-tama harus ditangani:

Biarkan b, c menjadi bilangan real, n bilangan bulat positif, fungsi f dan g.

  1. Multiple skalar, b = b, batas konstanta adalah konstanta.
  2. Konstan oleh fungsi, bf (x) = bf (x), batas bilangan konstan atau nyata oleh suatu fungsi sama dengan mengalikan konstanta dengan batas fungsi .
  3. Jumlah atau perbedaan, fx ± gx = fx ± gx, batas jumlah atau perbedaan dua fungsi sama dengan jumlah atau perbedaan batas masing-masing fungsi .
  4. Produk, fxgx = fx gx, batas produk dari dua fungsi sama dengan produk dari batas masing-masing fungsi .
  5. Quotient, f (x) gx = f (x) g (x), selama g (x) ≠ 0, batas rasio dua fungsi sama dengan hasil bagi batas dari setiap fungsi .
  6. Daya, f (x) g (x) = [limx → cfx] x → cg (x), batas daya sama dengan batas dasar yang dinaikkan ke batas eksponen.

Dengan menggunakan properti ini dan operasi aljabar Anda dapat menghitung nilai numerik yang tepat dari batas fungsi di sekitar titik, terlepas dari grafik atau perkiraan.

Temukan batas fungsi dengan prosedur analitik

Kami akan membahas contoh berikut untuk menemukan batas, menghitung 2x + 3.

Kami akan mulai dengan menerapkan properti nomor tiga, yang berkaitan dengan jumlah atau perbedaan batas .

Menerapkan properti yang Anda harus 2x + 3 = 2x + 3, kemudian menerapkan properti nomor dua (konstan untuk suatu fungsi) dan dengan demikian 2x + 3 = x + 3.

Akhirnya, menggunakan properti nomor satu (kelipatan skalar) dan mengevaluasi x = 1 di mana "x" berada, Anda memiliki 2x + 3 = 2 * 1 + 3 = 5.

Dengan cara ini, nilai numerik yang tepat dari batas f (x) = 2x + 3 diperoleh, ketika "x" cenderung ke 1, yang nilainya 5.

Anda mungkin tertarik: Bagaimana cara menambahkan legenda ke bagan Excel?

Kapan batas tidak ada?

Kita tahu bahwa batas tidak ada ketika gambar f (x) dalam nilai dekat dengan "x = c" di sebelah kanan dan di sebelah kiri tidak mendekati nilai yang sama.

Dengan demikian gambar f (x) ini melompat atau tiba-tiba tumbuh atau berkurang hingga tak terhingga atau kurang.

Ada tiga jenis cara untuk mengetahui apakah ada batas dengan melihat grafik suatu fungsi .

Ketahui jika batas tidak ada, metode 1

Yang pertama, f (x) tumbuh atau berkurang tanpa dimensi ketika "x" cenderung "c", artinya gambar "f" menjadi lebih besar atau lebih kecil, ketika "x" mengasumsikan nilai dekat ke "c".

Mari kita lihat secara grafis:

Dalam kasus khusus ini, ketika "x" mendekati 1 di sebelah kiri, gambar f (x) berkurang tanpa dimensi, oleh karena itu fx tidak ada. Kemudian, ketika "x" mendekati 1 di sebelah kanan, gambar f (x) tumbuh tanpa dimensi, oleh karena itu fx tidak ada batasnya .

Kesimpulannya, fx tidak ada .

Pastikan untuk membaca: Tutorial tentang fungsi matematika di Visual Basic

Kapan batas tidak ada? Metode 2

Kasus kedua, f (x) berosilasi antara dua nilai tetap ketika "x" cenderung "c".

Kita dapat mengamati bahwa ketika "x" mendekati -2 di sebelah kanan, gambar f (x) adalah 1, oleh karena itu fx = (1) = 1.

Kemudian, ketika "x" mendekati -2 di sebelah kiri, gambar f (x) adalah -1, oleh karena itu, fx = (- 1) = -1.

Kesimpulannya, fx tidak ada batasnya .

Tidak adanya batas matematika. Metode 3

Sekarang untuk tipe ketiga ketika f (x) cenderung ke nomor yang berbeda seperti "x" cenderung "c" di sebelah kanan atau di sebelah kiri.

Mari kita lihat gambar berikut:

Diamati bahwa ketika "x" mendekati 0 di sebelah kiri, gambar f (x) mendekati -3, oleh karena itu, fx = (x2-3) = - 3.

Di sisi lain, ketika "x" mendekati 0 di sebelah kanan, gambar f (x) mendekati 1, oleh karena itu fx = (1-x) = 1.

Dengan demikian, batas fungsi f (x) ketika "x" cenderung ke 0 tidak ada, jadi fx tidak ada.

Anda mungkin tertarik: Mendefinisikan fungsi matematika untuk Excel

Apa yang dimaksud dengan batas tak terhingga?

Berbicara tentang batas dalam tak terhingga menyiratkan mempelajari batas fungsi ketika "x" cenderung nilai yang sangat besar atau sangat kecil sementara gambar lebih dekat dengan nilai batas.

Secara simbolis fx = L berarti bahwa untuk setiap epsilon > 0 ada M> 0 sehingga | f (x) −L | M.

Jadi, karena "x" mengasumsikan nilai yang lebih besar, gambar f (x) lebih dekat dengan nilai L.

Sekarang jika kita mempelajari fx = L berarti bahwa untuk setiap epsilon > 0 ada N <0 sehingga | f (x) −L | <ε asalkan x <N.

Jadi, karena "x" mengasumsikan nilai yang lebih kecil, gambar f (x) lebih dekat dengan nilai L.

Mari kita menganalisis contoh berikut untuk menghitung dan mengamati secara rinci perbedaan mempelajari batas fungsi ketika "x" cenderung ke titik tetap ketika "x" cenderung nilai yang sangat besar atau sangat kecil, yaitu, bukan ke nilai tetap .

Batasi hingga tak terbatas, contoh:

Misalkan f (x) = 1 / x +1, kita akan mempelajari perilaku fungsi untuk nilai "x" yang sangat besar dan sangat kecil, yaitu, kita akan menemukan fx dan fx.

Pertama melalui prosedur numerik yang kita miliki:

Diamati bahwa ketika "x" mengambil nilai yang sangat besar, gambar f (x) mendekati 1 secara sewenang-wenang.

Karenanya, 1x + 1) = 1.

Demikian pula, ketika "x" mengambil nilai yang sangat kecil, gambar f (x) mendekati 1, maka 1x + 1) = 1.

Jadi, 1x + 1) = 1.

Sekarang mempelajari batas tak terhingga untuk contoh khusus ini dengan prosedur grafik, keberadaan batas fungsi untuk nilai "x" yang sangat besar ditampilkan, yang dekat dengan af (x) = 1 tetapi dengan cara asimptotik

Semoga definisi batas dan contoh grafik ini memungkinkan Anda untuk mengatasi masalah dengan kepemilikan yang lebih besar.

Berlatih keberadaan batas dalam grafik fungsi dengan mempelajari fungsi grafik di Microsoft Excel.

Artikel Menarik